复数的意义

实数（real number）是有理数（rational number）和无理数（irrational number）的总称，其中有理数包含了、整数、整数分数等，其小数部分有限或循环；而无理数则包含了、、等，其小数部分无限不循环。

实数域（real number field）可以理解为实数的集合，该集合具有连续性、完备性、有序性等性质。像这样的负数，毫无疑问属于一个实数，但是对一个负数求平方根（如）的运算在实数域中不闭合，也就是说这在实数域中并没有根，或者说找不到一个实数的平方（）等于。

复数（complex number）可以看作是对实数的扩展，实数域的代数闭包（algebraic closure）为复数域（complex number field），复数的运算法则和计算性质与实数类似。

复数通常用符号来表示，其基本形式是，其中被定义为虚数单位（imaginary unit）， $，$ ，为复数的实部（real part），为复数的虚部（imaginary part），实部与虚部都是实数，一个实数与虚数单位的乘积为一个虚数（imaginary），如，所以复数其实就是一个实数和一个虚数相加构成的，当一个复数的实部为零时，该复数被称为纯虚数（purely imaginary number），而虚部为零时，该复数就是一个实数。

可以从图像上来理解复数，实数的定义域可以用一个一维的实轴（Re）来表示，类似地，虚数也可用一个一维的虚轴（Im）表示，以实轴为横轴、虚轴为纵轴可构成一个复数平面，即复平面（complex plane），那么复数就是复平面上的一个点，该点与复平面原点的距离称为该复数的模（modulus or magnitude）。

from: 复平面 - Wiki

可以说复数的概念，将实数从一维提升到了二维，一个复数可以携带“二维信息（即实部和虚部）”，对复数进行运算也可以保留其“二维信息”，复数是一个非常强力的数学工具，可用来简化很多计算、分析问题，具有非常广的应用（Complex Numbers in Real Life）。在实际应用中（特别是物理应用上），一个复数具有什么样的意义，取决于我们对复数的建模方法，给一个复数的实部和虚部赋予具体的含义，比如：

在电磁学中，可以使用两个实数来描述电磁场（电场强度和磁场强度），但直接用一个复数来描述会更渐变，即电磁和磁场分量分别用复数的实部和虚部来表示
一个电路中的阻抗，包含了电阻和电抗，也可以使用复数来描述，实部为电阻，虚部为电抗
几何、图形处理中，可以用复数来表示平移、旋转、伸缩等变换